Fixpunkte: (a,a), (b,b), (c,c)
Invariante Kurven:
y = a+b - ab/x (magenta/grün)
y = b+c - bc/x, y = c+a - ca/x (rot)
Die roten Kurven sind anziehend für (c,c)
und abstoßend für (a,a), (b,b)
Die magenta/grüne Kurve ist anziehend
für (b,b) und abstoßend für (a,a).
Wegen Rundungsfehlern bei reellen Rechnungen
können iterierte Punkte nicht auf der magenta/
grünen Kurve wandern und gegen (b,b)
konvergieren, sie wandern schließlich alle
nach (c,c) - abwarten bis Start/Stop stopped!
Für rationale Punkte auf y = a+b - ab/x kann
man Code schreiben, der beliebig große ganze
Zahlen benutzt und Iteration nach (b,b) erlaubt.
Kein Programm iteriert (pi, a+b-ab/pi) richtig.
An der Universität Berkeley ist diese Iteration benutzt worden, um die Studierenden vor den
Konsequenzen von Rundungsfehlern bei numerischen Komputerexperimenten zu warnen. Man kann
leicht nachrechnen, dass die Muller Iteration auf den invarianten Kurven mit viel einfacheren
Formeln beschrieben werden kann, etwa auf der magenta/grünen Kurve durch (x,y) --> (y, a+b - ab/x).
Natürlich, wenn man so rechnet, bleiben die iterierten Punkte auf den invarianten Kurven, ohne
dass Rundungsfehler sich bemerkbar machen. Aber die Muller Iteration iteriert alle Punkte
mit Ausnahme der Fixpunkte (a,a) und (b,b) schließlich nach (c,c).
Der häufigste rechnerische Umgang mit reellen Zahlen stellt sie als Dualzahlen mit endlicher
Stellenzahl (z.B. 64 bit) dar. Das ist nicht einmal für alle Brüche exakt und für gar keine
Irrationalzahl. Die meisten reellen Zahlen sind sogar transzendent, d.h. man kann auf gar keine
Weise exakte numerische Rechnungen mit ihnen machen.